дано: отрезок АВ — диаметр окружности с центром в точке О, точка М на окружности, ∠АОМ = 90°
найти: а) доказать, что АМ = ВМ;
б) доказать, что ∠АМВ = 90°
решение:
а) Доказательство, что АМ = ВМ:
1. Поскольку ∠АОМ = 90° и О — центр окружности, то точка М лежит на окружности, и ∠АОМ является прямым углом.
2. Из теоремы о прямом угле, который образуется на окружности, когда угол опирается на диаметр, следует, что ∠АМВ = 90°.
3. В треугольнике АОМ и треугольнике ВОМ мы имеем:
- Отрезки ОА и ОБ равны, так как это радиусы одной и той же окружности.
- Угол ∠АОМ = ∠БОМ = 90°.
- Отрезки АМ и ВМ — стороны этих треугольников.
4. По признаку равенства треугольников (по гипотенузе и катету) треугольники АОМ и ВОМ равны. Следовательно, их соответствующие стороны равны, и АМ = ВМ.
б) Доказательство, что ∠АМВ = 90°:
1. Мы знаем, что отрезок АВ является диаметром окружности, и ∠АОМ = 90°.
2. По теореме о прямом угле, угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда равен 90°. В данном случае ∠АМВ является углом, опирающимся на диаметр АВ, и поэтому ∠АМВ = 90°.
ответ:
а) АМ = ВМ, так как треугольники АОМ и ВОМ равны.
б) ∠АМВ = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой.