Дано:
Общий объём товара: 20 000 единиц в год.
Издержки на подготовку одной партии: 130 р.
Издержки производства одной единицы товара: 23 р.
Издержки хранения одной единицы товара: 1,3 р. за год.
Найти:
Число единиц товара в партии, при котором совокупные издержки будут минимальны.
Решение:
1. Обозначим количество единиц в партии как x.
2. Число партий, которые нужно произвести в год, будет равно 20 000 / x.
Издержки на подготовку к производству всех партий:
130 * (20 000 / x).
Издержки на производство всех единиц продукции:
23 * 20 000.
Издержки на хранение товара:
Среднее количество единиц, находящихся на складе, равно x / 2, так как каждая партия хранится в среднем половину года.
Общее количество хранимых единиц: (20 000 / x) * (x / 2) = 10 000 / x.
Издержки на хранение:
1,3 * (10 000 / x).
Теперь составим полную формулу для совокупных издержек:
С(x) = 130 * (20 000 / x) + 23 * 20 000 + 1,3 * (10 000 / x).
Упростим:
С(x) = 2 600 000 / x + 460 000 + 13 000 / x.
Теперь найдем производную функции С(x):
С'(x) = -2 600 000 / x^2 - 13 000 / x^2.
Для нахождения минимальных издержек приравняем производную к нулю:
-2 600 000 / x^2 - 13 000 / x^2 = 0.
Объединяем слагаемые:
-2 613 000 / x^2 = 0.
Решаем уравнение для x:
x^2 = 2 613 000 / 13 000 ≈ 2000.
x ≈ 2000.
Ответ: 2000 единиц.