Дано:
- Бюджет на рекламу в месяц = 200 тыс. ден. ед.
- Затраты на 1 минуту радиорекламы = 1 тыс. ден. ед.
- Затраты на 1 минуту телерекламы = 20 тыс. ден. ед.
- Радио должно использоваться не менее чем в 2 раза чаще, чем телевидение.
- Объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы.
Необходимо найти оптимальное распределение средств между радиорекламой и телерекламой, чтобы максимизировать объем сбыта (целевую функцию).
Обозначим:
- x1 — средства на телерекламу.
- x2 — средства на радиорекламу.
- F — объем сбыта (целевая функция).
Задача сводится к следующей системе ограничений и цели:
1. Ограничение по бюджету:
x1 + x2 = 200 (поскольку общий бюджет на рекламу 200 тыс. ден. ед.).
2. Ограничение на частоту использования радиорекламы:
x2 ≥ 2 * x1 (радио должно использоваться не менее чем в 2 раза чаще, чем телевидение).
3. Целевая функция (объем сбыта):
F = 25 * x1 + x2 (каждая минута телерекламы в 25 раз эффективнее радиорекламы).
Решение:
1. Из первого ограничения x1 + x2 = 200 выразим x2 через x1:
x2 = 200 - x1.
2. Подставим это в ограничение на частоту использования радиорекламы:
200 - x1 ≥ 2 * x1.
Решим неравенство:
200 ≥ 3 * x1,
x1 ≤ 200 / 3 ≈ 66.67.
3. Теперь, чтобы максимизировать прибыль, подставим x1 = 66.67 в целевую функцию:
F = 25 * 66.67 + 200 - 66.67 = 1666.75 + 133.33 ≈ 1800.
Таким образом, оптимальное распределение средств:
- x1 = 0 (на телерекламу);
- x2 = 200 тыс. ден. ед. (на радиорекламу);
- F = 8 млн. ден. ед. (целевой доход).
Ответ: x1 = 0, x2 = 200, F = 8 млн. ден. ед.