Дано:
1. Объем котлована: 1200 м³.
2. Экскаватор 1: производительность 22,5 м³/ч, расход бензина 10 л/ч.
3. Экскаватор 2: производительность 5 м³/ч, расход бензина 0,5 л/ч.
4. Экскаватор 3: производительность 2 м³/ч, расход бензина 2 л/ч.
5. Запас бензина: 500 л.
Необходимо найти, сколько часов следует использовать каждый экскаватор, чтобы вырыть котлован за минимальное время, соблюдая ограничения по бензину.
Обозначим:
- x — время работы первого экскаватора (ч).
- y — время работы второго экскаватора (ч).
- z — время работы третьего экскаватора (ч).
Задача: минимизировать общее время работы экскаваторов при условии, что объем котлована должен быть вырыт, а расход бензина не должен превышать 500 л.
Целевая функция (минимизация общего времени работы):
T = x + y + z
Ограничения:
1. Объем котлована: 22,5x + 5y + 2z = 1200 (объем, вырытый экскаваторами).
2. Расход бензина: 10x + 0,5y + 2z ≤ 500 (ограничение по запасу бензина).
Решение:
1. Из первого ограничения выражаем z через x и y:
22,5x + 5y + 2z = 1200
2z = 1200 - 22,5x - 5y
z = (1200 - 22,5x - 5y) / 2
2. Подставим z в ограничение по бензину:
10x + 0,5y + 2((1200 - 22,5x - 5y) / 2) ≤ 500
10x + 0,5y + 1200 - 22,5x - 5y ≤ 500
-12,5x - 4,5y ≤ -700
12,5x + 4,5y ≥ 700
3. Упростим систему:
- 12,5x + 4,5y ≥ 700
- 22,5x + 5y + 2z = 1200
4. Используя методы линейного программирования (например, симплекс-метод), получаем оптимальное решение:
- x = 49 ч (время работы первого экскаватора).
- y = 19,4 ч (время работы второго экскаватора).
- z = 0 ч (не используется третий экскаватор).
Ответ:
Необходимо использовать первый экскаватор 49 часов, второй экскаватор 19,4 часа, третий экскаватор не использовать. Общее время работы всех экскаваторов составляет 68,4 часа.