Question

В   районе   лесного   массива   имеются   лесопильный   завод   и   фанерная   фабрика.  На  лесопильном  заводе  из  3  м3  еловых  и  9  м3  пихтовых  лесоматериалов  получают  3  м3  коммерчески  реализуемых  комплектов пиломатериалов.  На  фанерной  фабрике  из  8  м3  еловых  и  16  м3  пихтовых  лесоматериалов  изготавливают  100  м2фанеры.   В   течение   планируемого   периода  необходимо  произвести  по  край-ней   мере   120   м3   пиломатериалов   и   9600   м2   фанеры.   Доход   при   реализации   1   м3   пиломатериалов   составляет   3000  ден.  ед.,  а  при  реализации  100  м2фанеры  —  12  000  ден.  ед.  Определите,  существует   ли   оптимальное   решение   для    производства    пиломатериалов    и    фанеры,  максимизирующее  прибыль.

Answer 1

Дано:
1. На лесопильном заводе:
   - из 3 м³ еловых и 9 м³ пихтовых лесоматериалов получают 3 м³ пиломатериалов.

2. На фанерной фабрике:
   - из 8 м³ еловых и 16 м³ пихтовых лесоматериалов изготавливают 100 м² фанеры.

3. Требования:
   - необходимо произвести по крайней мере 120 м³ пиломатериалов.
   - необходимо произвести по крайней мере 9600 м² фанеры.

4. Доход:
   - 1 м³ пиломатериалов приносит 3000 ден. ед.
   - 100 м² фанеры приносит 12000 ден. ед.

Необходимо определить, существует ли оптимальное решение, которое максимизирует прибыль.

Решение:
Обозначим:
- x — количество м³ еловых лесоматериалов, использованных в производстве пиломатериалов.
- y — количество м³ пихтовых лесоматериалов, использованных в производстве пиломатериалов.
- z — количество м³ еловых лесоматериалов, использованных в производстве фанеры.
- w — количество м³ пихтовых лесоматериалов, использованных в производстве фанеры.

Целевая функция:  
Максимизировать прибыль, которая равна:
P = 3000 * (x + y) + 12000 * (z + w)

Ограничения:

1. Для пиломатериалов:
   - из 3 м³ еловых и 9 м³ пихтовых лесоматериалов получают 3 м³ пиломатериалов, т.е. x/3 = y/9 = (x + y)/3.
   - требуется произвести по крайней мере 120 м³ пиломатериалов, т.е. (x + y) ≥ 120.

2. Для фанеры:
   - из 8 м³ еловых и 16 м³ пихтовых лесоматериалов изготавливают 100 м² фанеры, т.е. z/8 = w/16 = (z + w)/8.
   - требуется произвести по крайней мере 9600 м² фанеры, т.е. (z + w) ≥ 9600 / 100 = 96.

3. Общие ограничения по материалам:
   - суммарное количество еловых лесоматериалов не может превышать общий запас еловых материалов.
   - суммарное количество пихтовых лесоматериалов не может превышать общий запас пихтовых материалов.

Теперь проверим существование оптимального решения.

Ответ: оптимального решения при заданных условиях не существует, так как целевая функция не достигает своего минимума при текущей технологии распила. Следует рассмотреть возможность изменения технологии распила или перераспределения ресурсов.