Question

Три маленьких тела изначально покоятся в трёх равноудаленных точках, принадлежащих окружности длиной 3 метра. В некоторый момент они одновременно начинают движение в одном направлении по окружности с по- стоянными скоростями: 1 = 4,0 м/с, 2 = 3,6 м/с, 3 = 3,0 м/с (индекс в обозначении скорости соответствует номеру тела на рисунке). При этом тела не сталкиваются, проходя мимо друг друга. Колонной называется наименьшая дуга окружности, содержа- щая три тела. Например, в начальном положении длина колонны равна 2 метра. Найдите минимальную длину колонны в процессе движения тел.

Answer 1

дано:
- длина окружности L = 3 м.
- скорости тел:
  v1 = 4,0 м/с,
  v2 = 3,6 м/с,
  v3 = 3,0 м/с.

найти:
- минимальную длину колонны в процессе движения тел.

решение:
1. В начальный момент времени три тела расположены на равном расстоянии друг от друга вдоль окружности. Длина колонны на начальном этапе составляет 2 м, так как между первым и третьим телом проходит всего один промежуток (1 м).

2. Рассмотрим время t, через которое тела пройдут определенное расстояние по окружности. Поскольку движение тел происходит по окружности, каждое тело будет двигаться с различной угловой скоростью.

3. Для вычисления времени, необходимого для встречи тел, найдем относительные скорости между телами:

- Относительная скорость между телом 1 и телом 2:
v_rel12 = v1 - v2 = 4,0 - 3,6 = 0,4 м/с.

- Относительная скорость между телом 2 и телом 3:
v_rel23 = v2 - v3 = 3,6 - 3,0 = 0,6 м/с.

- Относительная скорость между телом 1 и телом 3:
v_rel13 = v1 - v3 = 4,0 - 3,0 = 1,0 м/с.

4. Теперь рассчитаем время, через которое тела окажутся на одной дуге.

- Время для тела 1 догнать тело 2:
t12 = (1 м) / (0,4 м/с) = 2,5 с.

- Время для тела 2 догнать тело 3:
t23 = (1 м) / (0,6 м/с) = 1,67 с.

- Время для тела 1 догнать тело 3:
t13 = (1 м) / (1,0 м/с) = 1 с.

5. Находим максимальное из времен, поскольку именно оно определяет момент, когда все три тела будут находиться на одной колонне:
t_max = max(2,5, 1,67, 1) = 2,5 с.

6. Теперь необходимо найти, где будут находиться тела после течения времени t_max.

- Положение тела 1:
s1 = v1 * t_max = 4,0 м/с * 2,5 с = 10 м.
Так как длина окружности 3 м, то 10 м модуль 3 м = 1 м.

- Положение тела 2:
s2 = v2 * t_max = 3,6 м/с * 2,5 с = 9 м.
Так как длина окружности 3 м, то 9 м модуль 3 м = 0 м.

- Положение тела 3:
s3 = v3 * t_max = 3,0 м/с * 2,5 с = 7,5 м.
Так как длина окружности 3 м, то 7,5 м модуль 3 м = 1,5 м.

7. Теперь рассчитаем длину колонны, которая определяется расстоянием между максимальным и минимальным положением:

Минимальное положение: 0 м (тело 2), максимальное: 1,5 м (тело 3).
Длина колонны = позиция_max - позиция_min.

8. Длина колонны = 1,5 м - 0 м = 1,5 м.

ответ:
Минимальная длина колонны в процессе движения тел составляет 1,5 м.