Дано:
- давление идеального газа в большом сосуде (p) = p0
- высота, на которой удерживается поршень в большом сосуде (h)
- радиус малого сосуда (r/2), где r - радиус большого сосуда
- давление внутри малого сосуда (p_small) = (5/4)p
- высота поршня в малом сосуде (h_small) = h / 2
Найти:
- новое положение поршней в равновесии после отпускания поршня в большом сосуде.
Решение:
1. Давление в большом сосуде равно атмосферному давлению, и распределяемое давление по высоте можно записать как:
P_big = p + ρgh
где ρ - плотность газа.
2. В малом сосуде давление будет:
P_small = (5/4)p
3. При отпускании поршня в большом сосуде создается новая динамика давления. Объем газа в малом сосуде остается под давлением (5/4)p, а объем газа в большом сосуде изменяется.
4. Суммарная сила на оба поршня выражается через разность давлений и площади сечений:
F_big = (P_big - P_small)(S_big)
F_small = (P_small - P_atm)(S_small)
где S_big = π(r^2) и S_small = π((r/2)^2) = π(r^2)/4.
5. Подставляем значения:
F_big = (p - (5/4)p)(πr^2)
F_small = ((5/4)p - p0)(π(r^2)/4)
6. Поскольку поршни имеют одинаковые массы m, для равновесия сил имеем:
mg = (F_big + F_small)
7. Уравнение будет выглядеть так:
mg = [(p - (5/4)p)πr^2 + ((5/4)p - p0)(πr^2/4)]
8. После упрощения получаем:
mg = [(-1/4)pπr^2 + (5/4)pπr^2/4]
9. Итоговое уравнение позволяет найти изменение высоты h после отпускания поршня.
10. Теперь, в новом положении, давление в обоих сосудах равнодействующее, учитывая массу поршний и атмосферное давление.
Ответ:
После отпускания поршня в большом сосуде, поршни установятся в равновесии на новых высотах, при этом их положение будет зависеть от изменения давлений и объемов газа внутри сосудов. Высота нового положения поршней пропорционально будет зависеть от соотношения начальных давлений.