Дано:
- Радиус шара R = 3 м.
- Шар покоится на поверхности Земли.
Найти: высота, на которой брусок оторвется от поверхности шара h.
Решение:
1. Рассмотрим систему координат. Когда брусок соскальзывает с верхней точки шара, он начинает двигаться вниз по его поверхности под действием силы тяжести.
2. Для того чтобы брусок оторвался от шара, необходимо, чтобы центростремительное ускорение, которое испытывает брусок на поверхности шара при движении по круговой траектории, стало меньше ускорения свободного падения.
3. Центробежное (центростремительное) ускорение a_c можно выразить через радиус и угловую скорость ω:
a_c = ω² * r,
где r - радиус окружности, по которой движется брусок.
4. Угловая скорость связана с линейной скоростью v и радиусом R:
v = R * ω,
ω = v / R.
5. Таким образом, центростремительное ускорение можно выразить как:
a_c = v² / R.
6. Теперь запишем уравнение для условий отрыва бруска:
a_c < g.
7. Подставим выражение для центростремительного ускорения:
v² / R < g.
8. В момент отрыва брусок будет находиться на высоте h от верхней точки шара, где
h = R - r,
где r - радиус окружности, описываемой бруском в момент отрыва.
9. Если обозначить угол между вертикалью и линией, соединяющей центр шара и брусок, как θ, тогда:
r = R * cos(θ),
h = R - R * cos(θ),
h = R(1 - cos(θ)).
10. Связь между v и θ можно получить из закона сохранения механической энергии. Потенциальная энергия на высоте R будет равна кинетической энергии в момент отрыва:
m * g * R(1 - cos(θ)) = (1/2) * m * v².
11. Упрощаем уравнение, сократив массу m:
g * R(1 - cos(θ)) = (1/2) * v².
12. При отрыве b соответственно:
v² = g * R(1 - cos(θ)).
13. Подставим это значение в условие отрыва:
g * R(1 - cos(θ)) / R < g,
1 - cos(θ) < 1/2,
cos(θ) > 1/2.
14. Это соответствует углу θ = 60°.
15. Теперь найдем высоту h:
h = R(1 - cos(60°)),
h = R(1 - 0.5),
h = R * 0.5,
h = 3 * 0.5 = 1.5 м.
Ответ: брусок оторвется от поверхности шара на высоте h = 1.5 м.