дано:
- угол падения в воздухе (theta_1) - неизвестен.
- угол преломления в стекле (theta_2) равен половине угла падения: theta_2 = theta_1 / 2.
- показатель преломления воздуха n_air = 1.0.
- показатель преломления стекла n_glass = 1.5.
найти:
угол падения (theta_1).
решение:
1. Применим закон Снеллиуса для перехода из воздуха в стекло:
n_air * sin(theta_1) = n_glass * sin(theta_2).
Подставляем известные значения, используя theta_2 = theta_1 / 2:
1.0 * sin(theta_1) = 1.5 * sin(theta_1 / 2).
2. Используем формулу двойного угла для синуса:
sin(theta_1 / 2) = sqrt((1 - cos(theta_1)) / 2).
3. Теперь подставляем эту формулу в уравнение:
sin(theta_1) = 1.5 * sqrt((1 - cos(theta_1)) / 2).
4. Заменяем sin(theta_1) на 2 * sin(theta_1 / 2) * cos(theta_1 / 2):
2 * sin(theta_1 / 2) * cos(theta_1 / 2) = 1.5 * sqrt((1 - cos(theta_1)) / 2).
5. Изменяем cos(theta_1) с помощью формулы: cos(theta_1) = 1 - 2 * sin^2(theta_1 / 2).
Теперь мы можем подставить этот результат в уравнение:
2 * sin(theta_1 / 2) * cos(theta_1 / 2) = 1.5 * sqrt((1 - (1 - 2 * sin^2(theta_1 / 2))) / 2).
6. Упростим уравнение:
2 * sin(theta_1 / 2) * cos(theta_1 / 2) = 1.5 * sqrt(sin^2(theta_1 / 2)).
7. Получаем:
2 * sin(theta_1 / 2) * cos(theta_1 / 2) = 1.5 * sin(theta_1 / 2).
8. Делим обе стороны на sin(theta_1 / 2) (при условии, что sin(theta_1 / 2) не равно 0):
2 * cos(theta_1 / 2) = 1.5.
9. Находим cos(theta_1 / 2):
cos(theta_1 / 2) = 1.5 / 2 = 0.75.
10. Теперь найдём угол (theta_1 / 2):
theta_1 / 2 = arccos(0.75).
theta_1 / 2 ≈ 41.41°.
11. Умножаем на 2, чтобы найти угол падения:
theta_1 ≈ 2 * 41.41° ≈ 82.82°.
ответ:
Угол падения равен approximately 82.82°.