Дано:
- Модуль переменного напряжения: u = umaх * cos(ωt)
- Действующее значение напряжения: U = umaх / √2
- Время наблюдения t >> T, где T — период колебаний.
Найти: общую продолжительность промежутков времени, в течение которых модуль переменного напряжения |u| больше модуля действующего значения U.
Решение:
1. Условие для нахождения промежутка времени:
|u| > U.
Подставим выражение для действующего значения:
umaх * |cos(ωt)| > umaх / √2.
2. Упростим неравенство, разделив обе стороны на umaх (при условии, что umaх > 0):
|cos(ωt)| > 1 / √2.
3. Значение cos(ωt) превышает 1/√2 в интервалах:
ωt < π/4 + 2kπ и ωt > 7π/4 + 2kπ, где k — целое число.
4. Найдем длину этих промежутков за один полный период:
|cos(ωt)| > 1 / √2 выполняется в двух отрезках:
- От 0 до π/4
- От 7π/4 до 2π
5. Длина каждого из этих отрезков:
Δt1 = π/4 - 0 = π/4,
Δt2 = 2π - 7π/4 = π/4.
6. Общая длина промежутков времени в одном периоде:
Δt общего = Δt1 + Δt2 = π/4 + π/4 = π/2.
7. Теперь найдем, сколько таких периодов помещается в времени наблюдения t:
N = t / T.
8. Общая продолжительность промежутков времени, когда |u| > U, за время t:
Т_total = N * (π/2) = (t / T) * (π/2).
Ответ:
Общая продолжительность промежутков времени, в течение которых модуль переменного напряжения |u| больше модуля действующего значения U, равна Т_total = (t / T) * (π/2).