Question

Используя производные, докажите, что если зависимость смещения тела от времени выражается формулой х = xmaxcosωt, то проекции скорости и ускорения тела выражаются следующими формулами:
vх = -ωxmaxsinωt,
ax = -ω2xmaxcosωt.

Answer 1

Дано:
- Зависимость смещения тела от времени: x = xmax * cos(ωt).

Найти:
Проекции скорости vx и ускорения ax.

Решение:

1. Для нахождения проекции скорости vx, необходимо взять производную функции смещения x по времени t:

vx = dx/dt.

2. Сначала найдём производную от x = xmax * cos(ωt):

dx/dt = -xmax * ω * sin(ωt).

Таким образом, проекция скорости будет равна:

vx = -ω * xmax * sin(ωt).

Это совпадает с искомой формулой для скорости.

3. Теперь найдем проекцию ускорения ax, взяв производную от vx по времени t:

ax = dvx/dt = d(vx)/dt.

4. Подставим vx в уравнение и найдем производную:

dvx/dt = d(-ω * xmax * sin(ωt))/dt.

5. Применяя производную:

dvx/dt = -ω * xmax * ω * cos(ωt) = -ω^2 * xmax * cos(ωt).

Таким образом, проекция ускорения будет равна:

ax = -ω^2 * xmax * cos(ωt).

Ответ:
vх = -ω * xmax * sin(ωt);
ax = -ω^2 * xmax * cos(ωt).