Дано:
- магнитная индукция B
- длина стержня l
- масса стержня m
- жёсткость пружин k
- заряд конденсатора Q
- масса стержня m
- постоянная электростатического взаимодействия ε0
Найти:
а) наибольшее значение кинетической энергии стержня при колебаниях
б) амплитуду колебаний
Решение:
а) Наибольшее значение кинетической энергии стержня при колебаниях возникает в момент, когда стержень проходит через положение равновесия. Это происходит, когда вся энергия системы преобразуется в кинетическую энергию. Рассмотрим, как эта энергия изменяется.
1. В момент, когда конденсатор начинает передавать заряд, он создаёт электрическое поле, которое воздействует на стержень, приводя его в движение. Потенциальная энергия заряда конденсатора преобразуется в кинетическую энергию стержня.
2. Потенциальная энергия конденсатора при заряде Q равна:
U = Q² / (2 * C), где C — ёмкость конденсатора. Для двух пружин ёмкость можно выразить как C = ε0 * A / d, где A — площадь перекрытия пластин конденсатора, d — расстояние между пластинами.
3. При максимальной скорости стержня вся энергия конденсатора переходит в кинетическую энергию стержня:
E_к = (1 / 2) * m * v_max², где v_max — максимальная скорость стержня.
Сравнив потенциальную и кинетическую энергию, находим максимальную кинетическую энергию:
E_к_max = U = Q² / (2 * C).
Ответ на часть (а):
Наибольшее значение кинетической энергии стержня равно Q² / (2 * C).
б) Амплитуда колебаний
1. Амплитуду колебаний можно найти через максимальное отклонение стержня от положения равновесия. В этой задаче система состоит из пружин, которые взаимодействуют с металлическим стержнем, создавая гармоничные колебания.
2. Частота колебаний системы пружин с массой стержня определяется по формуле:
f = (1 / 2π) * √(k / m), где k — жёсткость пружин, m — масса стержня.
3. Амплитуду колебаний можно найти из закона сохранения энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергии системы остаётся постоянной. При максимальном отклонении стержня вся энергия системы находится в виде потенциальной энергии пружин:
E_п = (1 / 2) * k * A², где A — амплитуда колебаний.
Сравнив энергии наибольшего отклонения и максимальной кинетической энергии, мы получаем:
E_к_max = E_п, то есть Q² / (2 * C) = (1 / 2) * k * A².
Решая это уравнение относительно A, получаем:
A = √(Q² / (k * C)).
Ответ на часть (б):
Амплитуда колебаний A = √(Q² / (k * C)).