Дано:
- масса стержня m,
- длина провода L,
- расстояние между проводами l,
- магнитная индукция B,
- заряд конденсатора q.
Необходимо найти:
а) выражение для скорости стержня сразу после замыкания ключа,
б) минимальную скорость стержня в верхней точке окружности,
в) минимальную начальную скорость стержня в нижней точке окружности,
г) минимальный заряд конденсатора, при котором стержень сможет совершить полный оборот.
Решение:
а) После замыкания ключа в цепи протекает ток, который взаимодействует с магнитным полем, создавая силу Лоренца. Работа, совершенная этой силой, переходит в кинетическую энергию стержня. Из закона сохранения энергии можно записать следующее:
Работа силы Лоренца (сила Ампера):
A = F * l = B * I * l * L,
где I — сила тока в проводах, равная q / t, где t — время, за которое заряд q передается через провод. Мы примем, что время t мало и заряд q сразу передается, поэтому при замыкании ключа ток моментально достигает своего значения, и стержень приобретает скорость. Тогда работа, совершенная силой Ампера, равна:
A = B * (q / L) * l * L = B * q * l.
Эта работа преобразуется в кинетическую энергию стержня:
E_кин = (1/2) * m * v^2,
где v — скорость стержня после замыкания ключа. Приравняем работу к кинетической энергии:
B * q * l = (1/2) * m * v^2.
Выразим скорость v:
v = sqrt(2 * B * q * l / m).
б) В верхней точке окружности для того, чтобы стержень продолжал движение по окружности, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была не меньше работы, совершаемой в поле тяжести. Минимальная скорость на высоте будет таковой, что сила тяжести уравновесит центростремительное ускорение.
Для верхней точки:
(1/2) * m * v_вверх^2 = m * g * 2L.
Отсюда:
v_вверх = sqrt(4 * g * L).
в) В нижней точке окружности стержень имеет максимальную скорость. Для минимальной скорости в верхней точке, кинетическая энергия в нижней точке должна быть равна сумме кинетической энергии в верхней точке и потенциальной энергии, потраченной на подъем. Общее изменение энергии для полного пути от нижней точки к верхней точке:
(1/2) * m * v_нач^2 = (1/2) * m * v_вверх^2 + m * g * 2L.
Подставим v_вверх из предыдущего ответа:
(1/2) * m * v_нач^2 = (1/2) * m * (4 * g * L) + m * g * 2L.
Упростим и найдем:
v_нач = sqrt(6 * g * L).
г) Для минимального заряда конденсатора q_min, при котором стержень сможет совершить полный оборот, используется выражение для начальной скорости из пункта в). Энергия, запасенная в конденсаторе, равна:
Е_конденсатора = (1/2) * C * q^2,
где C — емкость конденсатора. Подставим выражение для начальной скорости:
(1/2) * C * q_min^2 = (1/2) * m * (6 * g * L).
Решим относительно q_min:
q_min = sqrt((m * 6 * g * L) / C).
Ответы:
а) v = sqrt(2 * B * q * l / m),
б) v_вверх = sqrt(4 * g * L),
в) v_нач = sqrt(6 * g * L),
г) q_min = sqrt((m * 6 * g * L) / C).