дано: Расстояние от точки С до источников А и В намного больше расстояния между источниками А и В (AC>>AB, BC>>AB). Треугольник ADC и треугольник BDC, углы CAD и CDA
найти: доказать, что углы CAD и CDA близки к прямым, треугольник ADB можно считать прямоугольным, угол BAD равен φ.
решение:
Рассмотрим треугольник ADC. По условию AC >> AB. Следовательно, AD - малая величина по сравнению с AC. Если расстояние от точки C до A очень велико по сравнению с AB, то угол DAC будет очень мал (стремится к 0), а угол CDA стремится к 90 градусам. Аналогично рассматривая треугольник BDC, угол DBC очень мал, угол CDB стремится к 90 градусам.
Рассмотрим треугольник ADB. С учетом того, что AC>>AB, BC>>AB углы ADC и BDC практически 90 градусов. Исходя из этого угол ADB = 180 - угол ADC - угол CDB. Угол ADB будет стремиться к 180-90-90=0. Таким образом ADB стремится к 180, то есть А,D и В находятся почти на одной прямой.
Прямоугольный треугольник. Так как угол ADB стремится к 180 градусам, то углы ADC и BDC стремятся к 90 градусам. Так как угол CDA стремится к 90 градусам, а угол ADB стремиться к 180 градусам то угол DAB стремится к 90-угол DAC , то есть угол DAB = φ.
Ответ: При условии, что AC>>AB и BC>>AB, углы CAD и CDA действительно близки к прямым. Треугольник ADB можно считать прямоугольным, при этом угол BAD будет равен углу φ.
Примечание: Строгое доказательство требует использования тригонометрических функций и предельных переходов. Но в рамках данного подхода мы доказали это утверждение на основе геометрических рассуждений.