Дано:
- ЭДС источника E (В),
- внутреннее сопротивление источника r (Ом),
- сила тока в цепи I (А).
Найти:
а) Силу тока, при которой функция Р(I) достигает максимума.
б) Соотношение между внешним сопротивлением R и внутренним сопротивлением r, при котором мощность тока во внешней цепи максимальна.
Решение:
а) Для нахождения выражения для силы тока, при которой мощность Р(I) достигает максимума, начнем с функции мощности:
Р(I) = E * I - I² * r.
Эта функция является параболой, направленной вниз (коэффициент при I² отрицательный). Чтобы найти значение I, при котором мощность максимальна, нужно найти производную этой функции по I и приравнять ее к нулю:
d(Р)/dI = E - 2 * I * r.
Приравниваем производную к нулю:
E - 2 * I * r = 0.
Решаем относительно I:
I = E / (2 * r).
Таким образом, сила тока, при которой мощность достигает максимума, равна:
I = E / (2 * r).
б) Для максимальной мощности нужно, чтобы внешнее сопротивление R было равно внутреннему сопротивлению источника r. Это условие можно получить, если учесть, что при таком соотношении напряжение на внешней цепи будет максимальным.
Используя формулу мощности:
Р = E * I - I² * r.
Подставим значение тока I = E / (2 * r) в эту формулу:
Р = E * (E / (2 * r)) - (E / (2 * r))² * r.
Упростим выражение:
Р = E² / (2 * r) - E² / (4 * r).
Р = E² / (4 * r).
Это максимальная мощность, которую можно получить во внешней цепи.
Ответ: Мощность будет максимальной, когда внешнее сопротивление R равно внутреннему сопротивлению r (R = r).
График функции Р(I) имеет вид параболы, достигающей максимума при I = E / (2 * r).