Дано:
- Энергия конденсатора увеличилась в 12 раз: U_1 = 12 * U_0.
- Расстояние между обкладками увеличено в 2 раза: d_1 = 2 * d_0.
- Изменение ёмкости конденсатора с диэлектриком C_1 = ε_r * C_0, где ε_r - диэлектрическая проницаемость.
Найти:
Диэлектрическую проницаемость ε_r диэлектрика.
Решение:
1. Исходная энергия конденсатора U_0 определяется как:
U_0 = (1/2) * C_0 * V_0^2,
где V_0 - напряжение на конденсаторе до удаления диэлектрика.
2. После удаления диэлектрика и увеличения расстояния между обкладками, новая ёмкость будет:
C_1 = ε_r * C_0 / 2,
так как ёмкость зависит от расстояния как C = ε * S / d.
3. Новое напряжение U_1 можно выразить через новую ёмкость и новую энергию:
U_1 = (1/2) * C_1 * V_1^2,
где V_1 - новое напряжение.
4. Теперь соотношение для новой энергии:
U_1 = 12 * U_0 = 12 * (1/2) * C_0 * V_0^2.
5. Подставим новое значение ёмкости:
12 * (1/2) * C_0 * V_0^2 = (1/2) * (ε_r * C_0 / 2) * V_1^2.
6. Упростим уравнение:
12 * C_0 * V_0^2 = (ε_r * C_0 / 2) * V_1^2.
7. Сократим C_0 (при условии, что оно не равно нулю):
12 * V_0^2 = (ε_r / 2) * V_1^2.
8. Теперь выразим V_1 через V_0. Поскольку ёмкость уменьшилась из-за увеличения расстояния:
V_1 = V_0 * 2.
9. Подставим V_1 в уравнение:
12 * V_0^2 = (ε_r / 2) * (2 * V_0)^2.
10. Упростим это уравнение:
12 * V_0^2 = (ε_r / 2) * (4 * V_0^2).
11. Сократим V_0^2:
12 = (ε_r / 2) * 4
12 = 2 * ε_r.
12. Разделим обе стороны на 2:
ε_r = 12 / 2 = 6.
Ответ:
Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 6.