дано:
- общая масса смеси газов m_total = 6 г = 0.006 кг
- среднеквадратичная скорость первого газа v_rms1 = 3.16 * v_rms2
- суммарная кинетическая энергия первого газа E_k1 = 2 * E_k2
найти:
а) какие газы находятся в баллоне
б) масса каждого газа m1 и m2
решение:
Пусть:
- масса первого газа m1
- масса второго газа m2
- молярная масса первого газа M1
- молярная масса второго газа M2
Из условия задачи имеем:
m1 + m2 = 0.006 кг.
Согласно формуле для кинетической энергии газа:
E_k = (3/2) * n * R * T,
где n - количество молей, R - универсальная газовая постоянная, T - температура.
Количество молей можно выразить через массу и молярную массу:
n = m / M.
Таким образом, кинетическая энергия может быть записана как:
E_k1 = (3/2) * (m1 / M1) * R * T,
E_k2 = (3/2) * (m2 / M2) * R * T.
Подставим эти выражения в соотношение для кинетических энергий:
(3/2) * (m1 / M1) * R * T = 2 * (3/2) * (m2 / M2) * R * T.
Сокращаем одинаковые множители:
m1 / M1 = 2 * (m2 / M2).
Теперь из этого уравнения выразим m1:
m1 = 2 * (m2 * M1 / M2).
Подставим это значение в уравнение для общей массы:
2 * (m2 * M1 / M2) + m2 = 0.006.
Объединим и преобразуем:
m2 * (2 * M1 / M2 + 1) = 0.006.
Теперь найдём соотношение между массами и молярными массами.
Из соотношения скоростей:
v_rms1^2 = (3 * R * T) / M1,
v_rms2^2 = (3 * R * T) / M2.
Так как v_rms1 = 3.16 * v_rms2,
(3.16 * v_rms2)^2 = (3 * R * T) / M1,
v_rms2^2 = (3 * R * T) / M2.
Введем обозначения:
x = v_rms2^2,
(3.16^2) * x = (3 * R * T) / M1,
x = (3 * R * T) / M2.
Теперь мы можем выразить M1 через M2:
M1 = (3 * R * T) / (3.16^2 * x),
M2 = (3 * R * T) / x.
Теперь подставим M1 и M2 в уравнение для массы:
2 * (m2 * (3 * R * T) / x) / ((3 * R * T) / (3.16^2 * x)) + m2 = 0.006.
Упрощаем:
2 * m2 * 3.16^2 + m2 = 0.006.
Здесь решим относительно m2:
m2 * (2 * 10.0356 + 1) = 0.006,
m2 * 12.0356 = 0.006.
Теперь находим m2:
m2 = 0.006 / 12.0356 ≈ 0.000498 кг.
Теперь найдем m1:
m1 = 0.006 - m2 = 0.006 - 0.000498 ≈ 0.005502 кг.
Для идентификации газов. Газ с меньшей молярной массой будет первым. Рассмотрим два инертных газа: аргон (M1 ≈ 40 г/моль) и неон (M2 ≈ 20 г/моль):
M1 / M2 = 40 / 20 = 2.
Это соответствует соотношению, найденному выше.
ответ:
а) В баллоне находятся аргон и неон.
б) Масса первого газа (аргон) приблизительно равна 5.502 г, масса второго газа (неон) приблизительно равна 0.498 г.