дано:
- угол наклона α = 30°
- длина наклонной плоскости L = 1 м
- радиус обруча r = 0,3 м (30 см)
- коэффициент трения μ = 0,2
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
найти:
- минимальную скорость v0, необходимую для отрыва шайбы в точке В.
решение:
1. силы, действующие на шайбу:
На шайбу действуют три силы:
- вес mg
- нормальная сила N
- сила трения F_t = μN
2. определение нормальной силы N:
Нормальная сила N будет равна компоненте веса, перпендикулярной к наклонной плоскости:
N = mg * cos(α).
3. определение силы трения:
Сила трения направлена вверх по наклонной плоскости:
F_t = μN = μmg * cos(α).
4. уравнение движения вдоль наклонной плоскости:
Сумма сил, действующих вдоль плоскости, равна произведению массы на ускорение:
m * a = mg * sin(α) - F_t.
Подставим силу трения:
m * a = mg * sin(α) - μmg * cos(α).
Упрощая это уравнение, получаем:
a = g * (sin(α) - μcos(α)).
5. вычисление ускорения:
Подставим значения:
α = 30° → sin(30°) = 0,5 и cos(30°) ≈ 0,866.
a = 9,81 * (0,5 - 0,2 * 0,866)
= 9,81 * (0,5 - 0,1732)
= 9,81 * 0,3268
≈ 3,21 м/с².
6. выход на вертикальный обруч:
Для того чтобы шайба оторвалась от плоскости в точке B, необходимо, чтобы центростремительное ускорение в точке B было равно g - a, где g - ускорение свободного падения:
a_c = v^2 / r,
где v - скорость в момент отрыва.
Условие отрыва:
v^2 / r = g - a.
Подставим выражения:
v^2 = (g - a) * r
= (9,81 - 3,21) * 0,3
= 6,6 * 0,3
= 1,98.
Найдем скорость v:
v = √1,98 ≈ 1,41 м/с.
7. найдем начальную скорость v0 на плоскости:
Используем закон сохранения энергии. Начальная кинетическая энергия превращается в потенциальную и работу против трения:
(1/2) * m * v0² = m * g * h + F_t * L,
где h - высота подъема шайбы на наклонной плоскости.
Высота h можно найти через длину плоскости:
h = L * sin(α) = 1 * sin(30°) = 1 * 0,5 = 0,5 м.
Работа против трения:
F_t = μmg * cos(α) * L
= 0,2 * mg * 0,866 * 1
= 0,1732 * mg.
Подставляем в уравнение:
(1/2) * m * v0² = mg * 0,5 + 0,1732 * mg
= mg * (0,5 + 0,1732)
= mg * 0,6732.
Упростим уравнение:
(1/2) * v0² = g * 0,6732
=> v0² = 2 * g * 0,6732
=> v0² = 2 * 9,81 * 0,6732
≈ 13,22.
Теперь найдём v0:
v0 = √13,22 ≈ 3,64 м/с.
ответ: минимальная скорость v0 ≈ 3,64 м/с.