Дано: m = 200 г = 0.2 кг k = 80 Н/м ω = 10 рад/с α = 60° g = 9.8 м/с^2
Найти: Δx - удлинение пружины l0 - длина недеформированной пружины
Решение:
На шарик действуют три силы: сила тяжести mg, сила упругости пружины F_упр и сила натяжения нити T. Сила упругости F_упр направлена вдоль пружины и равна k*Δx. Сила натяжения равна силе упругости.
Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: F_упр * cos(α) = mg kΔxcos(α) = mg
Выразим удлинение пружины: Δx = mg / (k*cos(α))
Подставим значения: Δx = (0.2 кг * 9.8 м/с^2) / (80 Н/м * cos(60°)) Δx = 1.96 / (80 * 0.5) = 1.96/40 = 0.049 м = 4.9 см
Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось: F_упр * sin(α) = ma_ц = mv^2/r F_упр * sin(α) = mω^2r
Найдем радиус вращения r. Из прямоугольного треугольника получаем: r = l*sin(α), где l - длина пружины. l = l0+Δx
Подставим r в уравнение 5: F_упрsin(α) = mω^2*(l0+Δx)*sin(α)
Выразим силу упругости: F_упр= k*Δx
Подставим в уравнение 7: kΔxsin(α) = mω^2(l0+Δx)*sin(α)
Сократим sin(α) и выразим l0: kΔx = mω^2*(l0+Δx) l0 = kΔx/(mω^2) - Δx
Подставим значения: l0 = (80 Н/м * 0.049 м) / (0.2 кг * (10 рад/с)^2) - 0.049 м l0 = 3.92 / 20 - 0.049 = 0.196 - 0.049 = 0.147 м = 14.7 см
Ответ: Δx = 0.049 м = 4.9 см l0 = 0.147 м = 14.7 см