Question

На внутренней поверхности конуса, образующая которого составляет угол α = 30° с горизонтом, лежит маленький брусок (рис. 11.10). Конус равномерно вращается вокруг вертикальной оси. Расстояние от бруска до оси вращения1) r = 0,1 м, коэффициент трения между бруском и поверхностью конуса μ = 0,3.
а) С какой частотой ν0 должен вращаться конус, чтобы сила трения, действующая на брусок, была равна нулю?
б) При какой минимальной частоте вращения конуса брусок может покоиться относительно него?
в) При какой максимальной частоте вращения конуса брусок может покоиться относительно него?

Answer 1

Дано: α = 30° r = 0.1 м μ = 0.3 g = 9.8 м/с^2

Найти: ν0 - частота вращения, при которой сила трения равна нулю ν_min - минимальная частота вращения, при которой брусок покоится ν_max - максимальная частота вращения, при которой брусок покоится

Решение:

а) Когда сила трения равна нулю, на брусок действуют только сила тяжести mg и сила нормальной реакции опоры N. Равнодействующая этих сил обеспечивает центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: N*cos(α) = mg

Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось (к центру окружности): Nsin(α) = ma_ц = m*v^2/r

Разделим второе уравнение на первое: tg(α) = v^2/(g*r)

Выразим скорость: v = √(grtg(α))

Свяжем линейную скорость с угловой: v = ωr , где ω = 2πν ωr = √(grtg(α)) 2πνr = √(grtg(α))

Найдем частоту: ν0 = √(gtg(α) / (4π^2r)) = √((9.8 м/с^2tg(30°))/(4π^20.1 м)) = √(9.80.577/(49.860.1)) = √(5.6546/3.944) = √1.433 ≈ 1.20 Гц

б) Минимальная частота вращения соответствует случаю, когда сила трения направлена вверх по конусу и равна максимальной силе трения покоя (сила трения стремится удержать брусок от соскальзывания вниз).

Запишем уравнение равновесия по вертикали: Ncos(α) - F_трsin(α) = mg где F_тр = μN

Запишем уравнение движения в горизонтальной плоскости: Nsin(α) + F_трcos(α) = mv^2/r = mω^2r = m4π^2ν^2*r

Подставим F_тр = μN и решим систему уравнений: N(cos(α) - μsin(α)) = mg N(sin(α) + μcos(α)) = m4π^2ν_min^2r

Разделим второе уравнение на первое: (sin(α)+μcos(α))/(cos(α)-μsin(α)) = 4π^2ν_min^2r/g ν_min = √((g(sin(α)+μcos(α)))/(4π^2r*(cos(α)-μsin(α))))

Подставим значения: ν_min = √((9.8 м/с^2 * (sin(30°) + 0.3 * cos(30°))) / (4π^20.1 м * (cos(30°) - 0.3 * sin(30°)))) ν_min = √((9.8 * (0.5 + 0.30.866))/(4π^20.1(0.866-0.3*0.5))) ν_min = √((9.8 * 0.7598) / (3.944 * 0.716)) = √ (7.446/2.824) = √2.636 ≈ 1.62 Гц

в) Максимальная частота вращения соответствует случаю, когда сила трения направлена вниз по конусу и равна максимальной силе трения покоя (сила трения стремится удержать брусок от соскальзывания вверх).

Запишем уравнение равновесия по вертикали: Ncos(α) + F_трsin(α) = mg

Запишем уравнение движения в горизонтальной плоскости: Nsin(α) - F_трcos(α) = m4π^2ν_max^2r

Подставим F_тр = μN и решим систему уравнений: N(cos(α) + μsin(α)) = mg N(sin(α) - μcos(α)) = m4π^2ν_max^2r

Разделим второе уравнение на первое: (sin(α) - μcos(α))/(cos(α)+μsin(α)) = 4π^2ν_max^2r/g ν_max = √((g(sin(α)-μcos(α)))/(4π^2r*(cos(α)+μsin(α))))

Подставим значения: ν_max = √((9.8*(sin(30°) - 0.3cos(30°)))/(4π^20.1(cos(30°) + 0.3sin(30°)))) ν_max = √((9.8 * (0.5 - 0.30.866))/(4π^20.1*(0.866 + 0.30.5))) ν_max = √((9.80.24)/(3.944*1.016)) = √ (2.352/4.007) =√0.587 ≈ 0.77 Гц

Ответ: a) ν0 ≈ 1.20 Гц б) ν_min ≈ 1.62 Гц в) ν_max ≈ 0.77 Гц