Дано: прямолинейное равноускоренное движение без начальной скорости. Ускорение — a. Пути за равные последовательные промежутки времени — l1, l2, l3 и т. д. — нужно доказать, что они относятся как последовательные нечётные числа, начиная с единицы.
1. Исходные данные:
Пусть ускорение a = const, начальная скорость равна нулю (v0 = 0), и время интервала — τ. Пути, которые проходимы за первые, вторые, третьи и т. д. секунды, будем обозначать l1, l2, l3 и так далее.
2. Решение:
Путь, пройденный телом за n-й промежуток времени, можно найти по формуле:
l_n = v_(n-1) * τ + (1/2) * a * τ².
где v_(n-1) — скорость в конце (n-1)-го промежутка времени, а (1/2) * a * τ² — путь, пройденный за время τ в результате ускорения.
Скорость в конце (n-1)-го промежутка времени выражается как:
v_(n-1) = a * (n-1) * τ.
Таким образом, путь за n-й промежуток времени будет равен:
l_n = a * (n-1) * τ * τ + (1/2) * a * τ².
Преобразуем это:
l_n = a * (n-1) * τ² + (1/2) * a * τ².
l_n = a * τ² * [(n-1) + (1/2)].
l_n = a * τ² * (n - 1/2).
3. Примеры расчета путей:
- Путь за первую секунду (n = 1):
l1 = a * τ² * (1 - 1/2) = a * τ² * (1/2).
- Путь за вторую секунду (n = 2):
l2 = a * τ² * (2 - 1/2) = a * τ² * (3/2).
- Путь за третью секунду (n = 3):
l3 = a * τ² * (3 - 1/2) = a * τ² * (5/2).
- Путь за четвёртую секунду (n = 4):
l4 = a * τ² * (4 - 1/2) = a * τ² * (7/2).
4. Заключение:
Мы видим, что пути, пройденные за равные промежутки времени, относятся как последовательные нечётные числа, начиная с 1:
l1 : l2 : l3 : l4 = 1 : 3 : 5 : 7 ...
Ответ: пути, пройденные за равные последовательные промежутки времени при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, относятся как последовательные нечётные числа, начиная с единицы.