дано:
- плотность верхней жидкости ρ2
- плотность цилиндрического тела ρ1
- начальное удлинение пружины X1
- плотность нижней жидкости ρ3
- начальная степень погружения тела в жидкость = 2/3 объема
- при добавлении жидкости тело будет полностью погружено в нижнюю жидкость на 1/6 своего объема.
найти:
- новое удлинение пружины X2.
решение:
1. Сначала найдем объем цилиндрического тела V. Поскольку тело плавает на поверхности жидкости и погружено на 2/3 своего объема, то:
V_погр = (2/3)V.
2. Применим закон Архимеда для расчета силы, действующей на тело в первой ситуации:
F_архимеда = ρ2 * g * V_погр
= ρ2 * g * (2/3)V.
3. Вес тела W = ρ1 * g * V.
4. В равновесии для начального состояния выполняется:
F_архимеда - W - F_пружины = 0,
где F_пружины = k * X1, и k — жесткость пружины.
Подставляем значения:
ρ2 * g * (2/3)V - ρ1 * g * V - k * X1 = 0.
5. Упростим уравнение:
(2/3)ρ2 * V - ρ1 * V = k * X1,
V(2/3ρ2 - ρ1) = k * X1.
6. Теперь, когда доливаем жидкость с плотностью ρ3, тело будет полностью погружено в нижнюю жидкость на 1/6 своего объема, что соответствует:
V_погр = V.
7. Применяем закон Архимеда к новому состоянию:
F'_архимеда = ρ3 * g * V.
8. Уравновешиваем силы:
F'_архимеда - W - F'_пружины = 0,
где F'_пружины = k * X2.
Подставляем значения:
ρ3 * g * V - ρ1 * g * V - k * X2 = 0.
9. Упрощаем уравнение:
ρ3 * V - ρ1 * V = k * X2,
V(ρ3 - ρ1) = k * X2.
10. Теперь можем выразить X2 через X1 из первого уравнения:
X2 = V(ρ3 - ρ1) / k.
11. Подставим значение V из первого уравнения:
V = k * X1 / (2/3ρ2 - ρ1).
12. Подставляем это в выражение для X2:
X2 = (k * X1 / (2/3ρ2 - ρ1)) * (ρ3 - ρ1) / k,
X2 = X1 * (ρ3 - ρ1) / (2/3ρ2 - ρ1).
ответ:
Новое удлинение пружины X2 можно выразить как X2 = X1 * (ρ3 - ρ1) / (2/3ρ2 - ρ1).