Дано:
- Масса груза m = 0,81 кг,
- Время t = 0,314 с,
- Смещение от положения равновесия через время t = 0,314 с равно половине максимального смещения.
Найти: жесткость пружины k.
Решение:
1. Для колебаний груза на пружине смещение описывается уравнением:
x(t) = A * cos(ωt + φ₀).
2. Поскольку груз отпускается из состояния покоя (то есть начальная фаза φ₀ = 0), уравнение примет вид:
x(t) = A * cos(ωt).
3. Максимальное смещение A — это амплитуда колебаний. Мы знаем, что через время t = 0,314 с смещение равно половине максимального:
x(0,314) = A / 2.
4. Таким образом, у нас получается:
A * cos(ω * 0,314) = A / 2.
5. Упростим:
cos(ω * 0,314) = 1 / 2.
6. Косинус угловой частоты равен 1/2, когда ω * 0,314 = π / 3. Отсюда:
ω = (π / 3) / 0,314 ≈ 3,34 рад/с.
7. Угловая частота ω связана с жесткостью пружины и массой груза через формулу:
ω = √(k / m).
8. Подставим известные значения:
3,34 = √(k / 0,81).
9. Возведем обе части в квадрат:
(3,34)² = k / 0,81.
10. Решим относительно k:
k = (3,34)² * 0,81 ≈ 11,14 * 0,81 ≈ 9,02 Н/м.
Ответ: жесткость пружины k ≈ 9,02 Н/м.