дано:
- Треугольник ABC, в котором AC = 2AB.
- M - середина отрезка AC.
- K - такая точка на отрезке BC, что угол KMB = 90°.
найти:
Отношение BK : KC.
решение:
1. Обозначим AB = x, тогда AC = 2x.
Поскольку M - середина AC, то AM = MC = x.
2. Выберем систему координат:
Пусть A(0, 0), B(x, 0), C(2x, h), где h - высота треугольника от точки C до основания AB.
Тогда координаты точки M будут:
M( (0 + 2x) / 2 , (0 + h) / 2 ) = (x, h/2).
3. Теперь подберем координаты точки K на отрезке BC.
Пусть K имеет координаты K(2x - t, h - kt), где t - расстояние от C до K, а k - коэффициент пропорциональности, определяющий наклон.
4. Условие угла KMB = 90° означает, что векторы MK и MB перпендикулярны.
Вектор MK = ( (2x - t) - x, (h - kt) - h/2 ) = (x - t, h - kt - h/2).
Вектор MB = (x - x, 0 - h/2) = (0, -h/2).
5. Перпендикулярность векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю:
(x - t) * 0 + (h - kt - h/2) * (-h/2) = 0.
Упрощая, получаем:
(h - kt - h/2)(-h/2) = 0.
Это уравнение выполняется при:
h - kt - h/2 = 0.
Таким образом:
kt = h/2.
6. Теперь выразим отношение отрезков BK и KC.
По построению, BK = t и KC = (h - kt).
Подставляем значение kt из предыдущего уравнения:
KC = h - h/2 = h/2.
7. Таким образом, имеем:
BK : KC = t : (h/2).
Используя соотношение kt = h/2, можно выразить t как:
t = h/(2k).
8. Подставим это значение в отношение:
BK : KC = (h/(2k)) : (h/2) = 1/k.
9. Мы знаем, что AC = 2AB, значит, если k = 1, то t = h/2 и K делит отрезок в отношении 1:1, следовательно:
Отношение BK : KC будет равно 1:2.
ответ:
Отношение BK : KC = 1 : 2.