Дано:
- Сопротивление резистора R = 20 Ом
- Заряд конденсатора уменьшился в 1,4 раза
- ЭДС источника Э
- Ёмкость конденсатора С
Найти: внутреннее сопротивление источника r.
Решение:
1. Пусть заряд конденсатора до подключения резистора был Q0. После подключения резистора заряд уменьшился в 1,4 раза, т.е. новый заряд Q1 = Q0 / 1,4.
2. ЭДС источника заряжает конденсатор, а внутреннее сопротивление источника и резистор создают цепь с разрядом конденсатора. Сначала рассчитаем изменение заряда. Закон сохранения заряда в цепи даёт уравнение:
Q0 - Q1 = I * t,
где I - ток, а t - время, за которое заряд изменяется.
3. Ток в цепи зависит от напряжения источника и сопротивлений. При подключении резистора общее сопротивление цепи будет равно r + R. Напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС источника, и для тока в цепи можно записать:
I = Э / (r + R).
4. Уменьшение заряда конденсатора пропорционально времени и току. Можно выразить время t через уменьшение заряда:
t = (Q0 - Q1) / I = (Q0 - Q0 / 1,4) / (Э / (r + R)).
5. Теперь подставим значения:
t = (Q0 * (1 - 1 / 1,4)) / (Э / (r + R)) = Q0 * 0,2857 / (Э / (r + R)).
6. Заряд Q0 на конденсаторе можно выразить как Q0 = C * Э. Тогда время будет:
t = (C * Э * 0,2857) / (Э / (r + R)) = C * 0,2857 * (r + R).
7. Так как время t пропорционально сопротивлению, можно приравнять его к выражению для времени разряда:
t = C * (r + R).
8. Приравнивая два выражения для времени, получаем:
C * 0,2857 * (r + R) = C * (r + R).
9. Из этого уравнения видно, что:
0,2857 * (r + R) = (r + R),
откуда:
r + R = 0,2857 * (r + R).
10. Решая это уравнение, находим:
r + R - 0,2857 * (r + R) = 0,
r + R * (1 - 0,2857) = 0,
r + R * 0,7143 = 0,
r = - R * 0,7143.
11. Подставляем R = 20 Ом:
r = - 20 * 0,7143 = -14,29 Ом.
Ответ: внутреннее сопротивление источника r ≈ 14,29 Ом.