Три цилиндра одинаковых высоты и радиуса, сделанные из алюминия, цинка и меди, нагрели до одинаковой температуры и поставили торцами на горизонтальную поверхность льда, имеющую температуру 0 °С. Когда установилось тепловое равновесие, цилиндры проплавили во льду цилиндрические углубления. Считая, что вся теплота, отводимая от цилиндров при их остывании, передавалась льду, определите, под каким из цилиндров углубление получилось больше.
1) под цинковым
2) под алюминиевым
3) под медным
4) под всеми тремя цилиндрами углубления получились одинаковыми.
от

1 Ответ

дано:  
Высота и радиус цилиндров одинаковые.  
Температура льда T_леда = 0 °C.  
Материалы цилиндров: алюминий, цинк, медь.

удельные теплоемкости (c) материалов:
- алюминий: c_Al ≈ 900 Дж/(кг·°C)
- цинк: c_Zn ≈ 388 Дж/(кг·°C)
- медь: c_Cu ≈ 385 Дж/(кг·°C)

найти:  
Под каким цилиндром углубление получилось больше.

решение:  
1) Количество теплоты Q, отводимое от тела при остывании, можно выразить через массу m, удельную теплоемкость c и изменение температуры ΔT:

Q = m * c * ΔT.

2) Поскольку цилиндры имеют одинаковую высоту и радиус, их массы будут пропорциональны плотности материала.
Обозначим плотности:
- алюминий: ρ_Al ≈ 2700 кг/м³
- цинк: ρ_Zn ≈ 7100 кг/м³
- медь: ρ_Cu ≈ 8960 кг/м³

3) Для одинаковых размеров, масса цилиндров будет равна:

m = V * ρ,
где V — объем цилиндра.

4) Объем цилиндра V можно выразить через радиус r и высоту h:

V = π * r² * h.

5) Количество теплоты, переданное льду для каждого цилиндра, составит:

Q_Al = (π * r² * h * ρ_Al) * c_Al * ΔT,
Q_Zn = (π * r² * h * ρ_Zn) * c_Zn * ΔT,
Q_Cu = (π * r² * h * ρ_Cu) * c_Cu * ΔT.

6) Количество тепла, которое необходимо для плавления льда определяется уравнением:

Q_лед = m_лед * L,
где L — скрытая теплота плавления льда (L ≈ 334000 Дж/кг).

7) Заметим, что количество тепла, отводимое от каждого цилиндра, будет зависеть от произведения плотности и удельной теплоемкости материалов:

Q_Al ∝ ρ_Al * c_Al,
Q_Zn ∝ ρ_Zn * c_Zn,
Q_Cu ∝ ρ_Cu * c_Cu.

8) Теперь вычислим произведения плотностей и удельных теплоемкостей:

- алюминий: ρ_Al * c_Al = 2700 * 900 = 2430000.
- цинк: ρ_Zn * c_Zn = 7100 * 388 = 2754800.
- медь: ρ_Cu * c_Cu = 8960 * 385 = 3449600.

9) Сравнивая результаты, видим, что большее значение имеет медь, затем цинк и меньшее алюминий. Это соответствует количеству тепла, отведенному от цилиндров.

ответ:  
Углубление получилось больше под медным цилиндром.
от