Дано:
- Сумма двадцати чисел равна нулю, то есть:
a1 + a2 + ... + a20 = 0.
Найти: доказать, что можно покрасить десять чисел в красный цвет, а девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных чисел.
Решение:
1. Пусть мы покрасили числа таким образом:
- Числа a1, a2, ..., a10 покрасим в красный цвет.
- Числа a11, a12, ..., a19 покрасим в синий цвет.
- Число a20 оставим без окраски.
2. Рассмотрим сумму чисел красного и синего цветов:
- Сумма чисел красного цвета: Sкрас = a1 + a2 + ... + a10.
- Сумма чисел синего цвета: Sсиний = a11 + a12 + ... + a19.
3. Поскольку сумма всех двадцати чисел равна нулю, то:
a1 + a2 + ... + a20 = 0.
Это можно переписать как:
Sкрас + Sсиний + a20 = 0.
4. Теперь, чтобы доказать, что сумма девяти синих чисел не меньше суммы десяти красных чисел, рассмотрим следующие два случая:
Первый случай:
Если a20 >= 0, то для числа a20 не нужно ничего делать, оно остается без окраски.
- Тогда Sсиний = a11 + a12 + ... + a19 будет не меньше, чем Sкрас = a1 + a2 + ... + a10. Поскольку все числа, в том числе a20, имеют такой баланс, сумма синих чисел всегда будет больше или равна красным числам.
Второй случай:
Если a20 < 0, то можно перенести это число в синюю часть (покрасив его в синий), так что суммы будут соблюдены, при этом сумма синей части будет больше либо равной красной.
Ответ:
Мы доказали, что всегда можно покрасить десять чисел в красный цвет, а девять из оставшихся в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше суммы десяти красных чисел.