Дано:
- собственная длина стержня L0 = 1 м
- угол наклона стержня с осью x' равен a0 = 45°
- скорость системы K' относительно K равна v = 0,8c, где c — скорость света
- в системе K' стержень покоится, значит, его длина в системе K' равна L0
Найти: длина стержня в системе K.
Решение:
В системе K, которая движется относительно системы K', длина стержня будет уменьшена из-за эффекта сокращения длины, который описывается формулой:
L = L0 / γ,
где γ — фактор Лоренца, который для скорости v равной 0,8c вычисляется по формуле:
γ = 1 / √(1 - v²/c²).
Подставим v = 0,8c в эту формулу:
γ = 1 / √(1 - (0,8)²) = 1 / √(1 - 0,64) = 1 / √0,36 = 1 / 0,6 = 5/3.
Теперь вычислим длину стержня в системе K, используя сокращение длины:
L = L0 / γ = 1 / (5/3) = 3/5 = 0,6 м.
Это длина стержня в направлении движения.
Однако стержень наклонен относительно оси x'. Чтобы найти полную длину стержня в системе K, необходимо учитывать, что его длина в системе K' не изменяется в направлении перпендикулярном движению. То есть, длина в перпендикулярном направлении останется неизменной, а в направлении движения будет сокращена.
Используем углы и тригонометрию для нахождения полной длины стержня в системе K:
В системе K стержень будет выглядеть как гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором одна из сторон — это сокращенная длина в направлении движения (Lx), а другая сторона — неизменная длина в перпендикулярном направлении (Ly).
Lx = L0 * cos(a0) / γ = 1 * cos(45°) / (5/3) = (√2/2) * 3/5 ≈ 0,424 м.
Ly = L0 * sin(a0) = 1 * sin(45°) = √2/2 ≈ 0,707 м.
Полная длина стержня в системе K определяется по теореме Пифагора:
L = √(Lx² + Ly²) = √(0,424² + 0,707²) = √(0,18 + 0,5) = √0,68 ≈ 0,824 м.
Ответ: Длина стержня в системе K составляет примерно 0,824 м.