Дано:
1. Параллелограмм ABCD, где AB = a, AD = b.
2. Точки M на стороне AB и K на стороне BC, такие что AM : MB = 1 : 2 и BK : KC = 2 : 3.
Найти:
Выразить вектор KM через векторы a и b.
Решение:
1. Найдем вектор AM. Поскольку AM : MB = 1 : 2, то точка M делит отрезок AB в отношении 1:2. Вектор AB можно выразить как:
AB = a.
Вектор MB будет равен:
MB = (2 / (1 + 2)) * AB = (2 / 3) * a.
Тогда вектор AM будет равен:
AM = (1 / (1 + 2)) * AB = (1 / 3) * a.
2. Теперь найдем вектор BK. Поскольку BK : KC = 2 : 3, то точка K делит отрезок BC в отношении 2:3. Вектор BC можно выразить как:
BC = AD + AB = b + a.
Вектор KC будет равен:
KC = (3 / (2 + 3)) * BC = (3 / 5) * (b + a).
Тогда вектор BK будет равен:
BK = (2 / (2 + 3)) * BC = (2 / 5) * (b + a).
3. Теперь найдем координаты точек M и K:
Точка M:
M = A + AM = (A) + (1/3)a = A + (1/3)(a).
Точка K:
K = B + BK = (A + a) + (2/5)(b + a) = A + a + (2/5)b + (2/5)a = A + (7/5)a + (2/5)b.
4. Теперь выразим вектор KM:
KM = K - M.
Подставим выражения для K и M:
KM = [A + (7/5)a + (2/5)b] - [A + (1/3)a]
= (7/5)a + (2/5)b - (1/3)a.
5. Приведем к общему знаменателю для векторов a:
Общий знаменатель для 5 и 3 — 15.
KM = [(21/15)a + (6/15)b - (5/15)a] = [(21/15 - 5/15)a + (6/15)b]
= [(16/15)a + (6/15)b].
Ответ:
Вектор KM = (16/15)a + (2/5)b.