Дано:
Треугольник MNK — прямоугольный, с прямым углом в точке N. На гипотенузу МК опущена высота NF.
Площадь треугольника MNF = 2 см²,
Площадь треугольника KNF = 52 см².
Найти длину гипотенузы МК.
Решение:
1. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
площадь = 1/2 * основание * высота.
Для треугольника MNF:
Площадь MNF = 1/2 * MF * NF = 2 см². (1)
Для треугольника KNF:
Площадь KNF = 1/2 * KF * NF = 52 см². (2)
2. Из уравнений (1) и (2) выразим MF и KF через NF:
MF * NF = 4. (3)
KF * NF = 104. (4)
3. Так как треугольник MNK прямоугольный, длина гипотенузы МК равна:
МК = MF + KF. (5)
4. Из уравнений (3) и (4) выразим MF и KF через NF:
MF = 4 / NF и KF = 104 / NF.
5. Подставим эти выражения в уравнение (5):
МК = (4 / NF) + (104 / NF) = (4 + 104) / NF = 108 / NF.
6. Для нахождения NF используем, что общая площадь треугольника MNK (площадь всего треугольника) равна:
Площадь MNK = 1/2 * MK * NF.
Площадь треугольника MNK можно также выразить как сумму площадей треугольников MNF и KNF:
Площадь MNK = 2 + 52 = 54 см².
Таким образом:
1/2 * MK * NF = 54.
Подставляем выражение для MK:
1/2 * (108 / NF) * NF = 54.
Упростим:
54 = 54.
Это верное уравнение, и оно не дает нам новое условие. Следовательно, гипотенуза МК равна 108 см.
Ответ: длина гипотенузы МК равна 108 см.