дано:
- Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна S.
- Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°.
найти:
Объём V пирамиды.
решение:
1. Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание. Обозначим длину стороны квадратного основания как a, а высоту пирамиды как H.
2. Диагональное сечение проходит через вершину пирамиды и две противоположные вершины основания. Площадь этого диагонального сечения зависит от высоты H и длины стороны a.
3. Площадь диагонального сечения можно выразить следующим образом:
S = (a * H) / 2.
4. Из условия задачи известно, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Это означает, что высота H пирамиды равна длине бокового ребра, деленной на корень из двух:
H = a / √2.
5. Подставляем выражение для H в формулу для площади диагонального сечения:
S = (a * (a / √2)) / 2
= (a² / (2√2)).
6. Теперь выразим a² через S:
a² = 2√2 * S.
7. Объём V правильной четырёхугольной пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1/3) * Sосн * H,
где Sосн — площадь основания. Площадь основания Sосн равна a².
8. Подставляем значения:
V = (1/3) * a² * H
= (1/3) * a² * (a / √2)
= (1/3) * (2√2 * S) * (√(2√2 * S) / √2)
= (1/3) * (2S * √2 * S) / 2
= (S² * √2) / 3.
ответ:
Объём пирамиды равен (S² * √2) / 3.