дано:
- Угол ∠ACB = 90°.
- Длина AC = 4 см.
- Угол между плоскостями ABC и AB1C = 45°.
- Расстояние от вершины B до плоскости AB1C равно 3√2 см.
найти:
Объём V призмы.
решение:
1. В основании ABC треугольник ACB является прямоугольным, где AC перпендикулярно AB (угол 90°). Обозначим длину стороны AB как b.
2. По теореме Пифагора можно найти длину стороны AB:
AB² + AC² = BC².
Поскольку AC = 4 см, обозначим BC как h (высота призмы):
h² = b² + 4².
3. Угол между плоскостями ABC и AB1C равен 45°. Это дает возможность использовать отношение высоты h и длины боковой грани AB:
tan(45°) = h / b,
откуда h = b.
4. Теперь подставляем полученное h в уравнение Пифагора:
b² + 4² = b²,
b² - b² = -16,
следовательно, b² = 16.
5. Значит, длина боковой грани b равна:
b = 4 см.
6. Высота призмы h равна:
h = b = 4 см.
7. Объём V призмы вычисляется по формуле:
V = S * h, где S — площадь основания.
8. Площадь основания ABC (треугольника ACB) вычисляется по формуле для прямоугольного треугольника:
S = (1/2) * AC * AB = (1/2) * 4 * 4 = 8 см².
9. Подставляем значения в формулу для объёма:
V = S * h = 8 * 4 = 32 см³.
ответ:
Объём призмы равен 32 см³.