дано:
- Длина диагонали параллелепипеда d = 8 см.
- Угол между диагональю и плоскостью боковой грани φ = 30°.
найти:
Объём V прямоугольного параллелепипеда.
решение:
1. Обозначим сторону основания квадрата как a, а высоту параллелепипеда как h.
2. Для прямоугольного параллелепипеда длина диагонали определяется формулой:
d = √(a² + a² + h²) = √(2a² + h²).
3. Подставляем известное значение диагонали:
8 = √(2a² + h²).
4. Возводим обе стороны в квадрат:
64 = 2a² + h².
5. Из треугольника, образованного диагональю и высотой, можем выразить h через угол φ:
cos(φ) = h / d,
откуда h = d * cos(φ).
6. Подставим известные значения:
h = 8 * cos(30°) = 8 * (√3 / 2) = 4√3 см.
7. Теперь подставим h в уравнение для диагонали:
64 = 2a² + (4√3)².
8. Находим (4√3)²:
(4√3)² = 16 * 3 = 48.
9. Подставим это значение:
64 = 2a² + 48.
10. Выразим 2a²:
2a² = 64 - 48 = 16.
11. Разделим на 2, чтобы найти a²:
a² = 16 / 2 = 8.
12. Найдём a:
a = √8 = 2√2 см.
13. Объём V прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
V = a² * h.
14. Подставляем a и h:
V = (2√2)² * 4√3 = 8 * 4√3 = 32√3 см³.
ответ:
Объём прямоугольного параллелепипеда равен 32√3 см³.