дано:
- Стороны основания треугольника: a = 25 см, b = 29 см, c = 36 см.
- Высота пирамиды от вершины до каждой стороны h = 10 см.
найти:
Площадь большого круга шара, вписанного в данную пирамиду.
решение:
1. Сначала найдем площадь основания треугольника с помощью формулы Герона. Для этого сначала вычислим полупериметр:
p = (a + b + c) / 2 = (25 + 29 + 36) / 2 = 45 см.
2. Площадь S основания треугольника по формуле Герона:
S = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)].
3. Подставим значения:
S = √[45 * (45 - 25) * (45 - 29) * (45 - 36)]
S = √[45 * 20 * 16 * 9].
4. Вычислим:
S = √(129600) = 360 см².
5. Теперь найдем радиус вписанного шара r для данной пирамиды. Радиус шара, вписанного в пирамиду, можно найти по формуле:
r = V / S_бок,
где V – объем пирамиды, а S_бок – площадь боковой поверхности.
6. Объем V пирамиды:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 360 * 10 = 1200 см³.
7. Площадь боковой поверхности S_бок для треугольной пирамиды:
Каждая сторона основания имеет свою высоту, но так как высота от вершины до основания одинаковая, и мы можем выразить S_бок как сумму площадей боковых треугольников. Высота бокового треугольника равна h = 10 см.
8. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти боковые ребра. Длину бокового ребра можно найти с помощью теоремы Пифагора:
l1 = √(h² + (a/2)²),
l2 = √(h² + (b/2)²),
l3 = √(h² + (c/2)²).
Подсчитаем:
l1 = √(10² + (25/2)²) = √(100 + 156.25) = √256.25 ≈ 16.01 см,
l2 = √(10² + (29/2)²) = √(100 + 210.25) = √310.25 ≈ 17.58 см,
l3 = √(10² + (36/2)²) = √(100 + 324) = √424 ≈ 20.62 см.
9. Площадь боковой поверхности будет:
S_бок = (1/2) * (a * l1 + b * l2 + c * l3) = (1/2) * (25 * 16.01 + 29 * 17.58 + 36 * 20.62).
10. Вычислим S_бок:
S_бок ≈ (1/2) * (400.25 + 510.82 + 741.32) ≈ (1/2) * 1652.39 ≈ 826.19 см².
11. Найдем радиус вписанного шара:
r = V / S_бок = 1200 / 826.19 ≈ 1.45 см.
12. Площадь большого круга шара:
S_круга = π * r².
13. Подставим значение r:
S_круга ≈ 3.14 * (1.45)² ≈ 3.14 * 2.1025 ≈ 6.60 см².
ответ:
Площадь большого круга шара, вписанного в данную пирамиду, равна примерно 6.60 см².