Дано:
Точки A(7; -4; 3) и B(-1; 0; 1).
Найти: Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку.
Решение:
1. Найдем середину отрезка AB.
Середина отрезка AB имеет координаты, которые являются средним арифметическим соответствующих координат точек A и B.
Координаты середины M:
Mx = (7 + (-1)) / 2 = 6 / 2 = 3,
My = (-4 + 0) / 2 = -4 / 2 = -2,
Mz = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2.
Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты M(3; -2; 2).
2. Найдем вектор, направленный вдоль отрезка AB.
Вектор AB = B - A = (-1 - 7; 0 - (-4); 1 - 3) = (-8; 4; -2).
3. Плоскость должна быть перпендикулярна вектору AB. Вектор нормали к плоскости будет направлен вдоль этого вектора AB.
Таким образом, вектор нормали к плоскости N = (-8; 4; -2).
4. Уравнение плоскости можно записать в виде:
n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0,
где (x0, y0, z0) — точка на плоскости, а (n1, n2, n3) — координаты нормали к плоскости.
5. Подставим в уравнение плоскости координаты точки M(3; -2; 2) и компоненты нормали N(-8; 4; -2):
-8(x - 3) + 4(y + 2) - 2(z - 2) = 0.
6. Раскроем скобки и упростим:
-8x + 24 + 4y + 8 - 2z + 4 = 0,
-8x + 4y - 2z + 36 = 0.
Ответ: Уравнение плоскости:
-8x + 4y - 2z + 36 = 0.