Дано:
- |a| = 11
- |b| = 23
- |a - b| = 30
Найти:
|a + b|
Решение:
1. Используем формулу для длины разности векторов:
|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 * |a| * |b| * cos(θ),
где θ — угол между векторами a и b.
2. Подставляем известные значения:
30^2 = 11^2 + 23^2 - 2 * 11 * 23 * cos(θ).
3. Вычисляем квадраты длин:
900 = 121 + 529 - 506 * cos(θ).
4. Упрощаем уравнение:
900 = 650 - 506 * cos(θ).
5. Переносим всё на одну сторону:
506 * cos(θ) = 650 - 900
506 * cos(θ) = -250.
6. Находим cos(θ):
cos(θ) = -250 / 506.
7. Теперь используем формулу для длины суммы векторов:
|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2 * |a| * |b| * cos(θ).
8. Подставляем известные значения и найденный cos(θ):
|a + b|^2 = 11^2 + 23^2 + 2 * 11 * 23 * (-250 / 506).
9. Вычисляем:
|a + b|^2 = 121 + 529 - (5060 / 506)
= 650 - 10
= 640.
10. Извлекаем корень:
|a + b| = √640 = √(64 * 10) = 8√10.
Ответ:
|a + b| = 8√10.