Дано:
- Вектор a = (2; m + 1; m + 5).
- Модуль вектора a равен 2√3.
- Вектор b = (-1; m + 4; m + 2).
Найти:
- Являются ли векторы a и b коллинеарными.
Решение:
1. Сначала найдем модуль вектора a:
|a| = √(2² + (m + 1)² + (m + 5)²) = 2√3.
2. Подставим значение модуля в формулу:
√(4 + (m + 1)² + (m + 5)²) = 2√3.
3. Возведем обе стороны в квадрат:
4 + (m + 1)² + (m + 5)² = 12.
4. Раскроем квадратные скобки:
4 + (m² + 2m + 1) + (m² + 10m + 25) = 12.
5. Упростим выражение:
4 + m² + 2m + 1 + m² + 10m + 25 = 12,
2m² + 12m + 30 = 12.
6. Переносим 12 на левую сторону:
2m² + 12m + 18 = 0.
7. Делим все уравнение на 2:
m² + 6m + 9 = 0.
8. Решим квадратное уравнение:
(m + 3)² = 0,
m + 3 = 0,
m = -3.
9. Теперь подставим значение m в векторы a и b, чтобы проверить их коллинеарность:
Вектор a = (2; -3 + 1; -3 + 5) = (2; -2; 2).
Вектор b = (-1; -3 + 4; -3 + 2) = (-1; 1; -1).
10. Для проверки коллинеарности векторов a и b нужно проверить, являются ли они пропорциональными:
a = k * b для некоторого k.
11. Сравним компоненты векторов:
2 = k * (-1),
-2 = k * 1,
2 = k * (-1).
12. Решение для k из первого уравнения:
k = -2.
13. Подставляем k во второе уравнение:
-2 = -2 * 1 (верно).
14. Подставляем k в третье уравнение:
2 = -2 * (-1) (верно).
Ответ:
Векторы a и b являются коллинеарными.