Дано:
- Пусть длина ребра куба равна a.
Найти:
- Отношение площади сферы, вписанной в куб, к площади сферы, описанной около данного куба.
Решение:
1. Радиус сферы, вписанной в куб (Rвписанная), равен половине длины ребра куба:
Rвписанная = a / 2.
2. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
S = 4 * π * R².
3. Подставим радиус вписанной сферы:
Sвписанная = 4 * π * (Rвписанная)² = 4 * π * (a / 2)² = 4 * π * (a² / 4) = π * a².
4. Теперь найдем радиус сферы, описанной около куба (Rописанная). Он равен половине диагонали куба:
Диагональ куба d = a * √3,
поэтому радиус описанной сферы:
Rописанная = d / 2 = (a * √3) / 2.
5. Найдем площадь поверхности описанной сферы:
Sописанная = 4 * π * (Rописанная)² = 4 * π * ((a * √3) / 2)² = 4 * π * (a² * 3 / 4) = 3π * a².
6. Теперь найдем отношение площадей:
Отношение = Sвписанная / Sописанная = (π * a²) / (3π * a²).
7. Упростим это выражение:
Отношение = 1 / 3.
Ответ:
Отношение площади сферы, вписанной в куб, к площади сферы, описанной около данного куба, равно 1/3.