Дано:
- Объём правильной треугольной призмы V
Найти:
- Объём цилиндра, вписанного в данную призму.
Решение:
1. Объём правильной треугольной призмы можно выразить через площадь основания S и высоту H:
V = S * H.
2. Для правильной треугольной призмы основание является равносторонним треугольником со стороной a. Площадь основания S можно вычислить по формуле для площади равностороннего треугольника:
S = (a² * √3) / 4.
3. Высота призмы H остаётся как есть, и тогда объём призмы можно переписать следующим образом:
V = ((a² * √3) / 4) * H.
4. Теперь нужно найти объём цилиндра, который вписан в призму. Радиус r вписанного цилиндра равен радиусу вписанной окружности равностороннего треугольника, который можно вычислить по формуле:
r = (a * √3) / 6.
5. Объём цилиндра V_ц может быть найден по формуле:
V_ц = π * r² * H.
6. Подставим значение r:
V_ц = π * ((a * √3) / 6)² * H,
V_ц = π * (a² * 3 / 36) * H,
V_ц = (π * a² * H) / 12.
7. Теперь подставим выражение для H из формулы V = S * H:
H = 4V / (a² * √3).
8. Подставляем H в формулу для V_ц:
V_ц = (π * a² * (4V / (a² * √3))) / 12,
V_ц = (4πV) / (12√3),
V_ц = (πV) / (3√3).
Ответ:
Объём цилиндра, вписанного в данную призму, составляет (πV) / (3√3) см³.