Дано:
1. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды (a) = 12 см.
2. Двугранный угол пирамиды при ребре основания (γ) = 60°.
3. Высота пирамиды делится на 3 равные части.
Найти:
Объем усеченной пирамиды, заключенной между плоскостями, параллельными основанию (V).
Решение:
1. Сначала найдем высоту h всей пирамиды. Высота h может быть вычислена через угол γ:
h = (a / 2) * tan(γ).
Подставим значения:
h = (12 / 2) * tan(60°) = 6 * √3 см.
2. Теперь найдем высоту усеченной пирамиды. Высота h делится на 3 равные части, следовательно, высота усеченной пирамиды (h_усеч) будет равна:
h_усеч = (1/3) * h = (1/3) * (6√3) = 2√3 см.
3. Далее, найдем площади оснований. Площадь основания S1 (большого) правильного шестиугольника определяется по формуле:
S1 = (3√3 / 2) * a².
Подставим значение a:
S1 = (3√3 / 2) * (12)² = (3√3 / 2) * 144 = 216√3 см².
4. Площадь верхнего основания (S2) можно найти, учитывая, что высота усеченной пирамиды составляет 2√3 см. Высота полной пирамиды h = 6√3 см, значит высота от верхнего основания до вершины пирамиды:
h_верх = h - h_усеч = 6√3 - 2√3 = 4√3 см.
5. Теперь найдем уменьшение стороны шестиугольника на верхнем основании. С использованием пропорции:
h_верх / h = S2 / S1.
Подставим значения:
(4√3) / (6√3) = S2 / (216√3).
Упрощаем:
2/3 = S2 / 216√3.
S2 = (2/3) * 216√3 = 144√3 см².
6. Теперь можем найти объем усеченной пирамиды (V):
V = (1/3) * h_усеч * (S1 + S2 + √(S1 * S2)).
Подставим значения:
V = (1/3) * (2√3) * (216√3 + 144√3 + √(216√3 * 144√3)).
Упрощаем:
V = (1/3) * (2√3) * (360√3 + √(31104)).
√(31104) = 176 см².
V = (1/3) * (2√3) * (360√3 + 176).
V = (1/3) * (2√3) * (360√3 + 176).
7. Упрощаем окончательно:
V = (2√3 / 3) * (360√3 + 176).
Ответ:
Объем усеченной пирамиды равен (2√3 / 3) * (360√3 + 176) см³.