Дано:
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды (b).
2. Плоский угол при вершине пирамиды (v).
Найти:
Объем правильной треугольной пирамиды (V).
Решение:
1. Высота h пирамиды может быть найдена через боковое ребро и угол v:
h = b * cos(v).
2. Площадь основания S правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
S = (√3 / 4) * a²,
где a — длина стороны основания.
3. Для нахождения стороны a можно использовать соотношение в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной стороны основания и боковым ребром:
b² = h² + (a/2)².
4. Подставим h:
b² = (b * cos(v))² + (a/2)².
5. Раскроем скобки:
b² = b² * cos²(v) + (a² / 4).
6. Переносим b² * cos²(v) на левую сторону:
b² - b² * cos²(v) = (a² / 4).
7. Выразим a²:
a² = 4(b² - b² * cos²(v)) = 4b²(1 - cos²(v)) = 4b² * sin²(v).
8. Теперь подставим a² в формулу для объема V:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * ((√3 / 4) * a²) * h.
9. Подставим найденные значения:
V = (1/3) * ((√3 / 4) * (4b² * sin²(v))) * (b * cos(v)).
10. Упростим:
V = (√3 / 3) * b³ * sin²(v) * cos(v).
Ответ:
Объем правильной треугольной пирамиды равен (√3 / 3) * b³ * sin²(v) * cos(v).