дано:
α - угол между диагональю осевого сечения и высотой цилиндра R - радиус шара, описанного около цилиндра (в метрах)
найти:
S - площадь боковой поверхности цилиндра
решение:
В осевом сечении цилиндра имеем прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна диаметру описанного шара (2R). Пусть r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
Тогда по теореме Пифагора:
(2R)^2 = h^2 + (2r)^2
Из условия задачи мы знаем, что tg(α) = 2r / h.
Отсюда h = 2r / tg(α).
Подставим это в теорему Пифагора:
4R^2 = (2r / tg(α))^2 + 4r^2 4R^2 = 4r^2 / tg(α)^2 + 4r^2 R^2 = r^2 (1 + 1/tg(α)^2) R^2 = r^2 (1 + ctg(α)^2)
Площадь боковой поверхности цилиндра:
S = 2πrh
Выразим r через R:
r^2 = R^2 / (1 + ctg(α)^2) r = R / √(1 + ctg(α)^2)
Выразим h через R:
h = 2r / tg(α) = 2R / (tg(α)√(1 + ctg(α)^2))
Подставим r и h в формулу площади боковой поверхности:
S = 2π * [R / √(1 + ctg(α)^2)] * [2R / (tg(α)√(1 + ctg(α)^2))] S = 4πR^2 / [tg(α)(1 + ctg(α)^2)]
Ответ:
4πR^2 / [tg(α)(1 + ctg(α)^2)]