Дано:
1. Треугольник ABC является основанием пирамиды DABC.
2. AB = AC = DB = a.
3. ∠ABC = 90°.
4. DB ⊥ ABC.
Найти:
Радиус сферы, вписанной в данную пирамиду (R).
Решение:
1. Определим площадь основания треугольника ABC. Поскольку AB и AC равны и угол между ними 90°, площадь основания (S_основания) равна:
S_основания = (1/2) * AB * AC = (1/2) * a * a = (a²) / 2.
2. Полупериметр основания (p):
Для треугольника ABC, где AB = AC = a и BC = √(AB² + AC²) = √(a² + a²) = a√2, полупериметр p будет равен:
p = (AB + AC + BC) / 2 = (a + a + a√2) / 2 = (2a + a√2) / 2 = a(1 + √2) / 2.
3. Высота пирамиды (H) от вершины D до основания ABC равна длине DB, то есть:
H = a.
4. Радиус вписанной сферы (R) можно выразить через площадь основания и высоту:
R = (S_основания * H) / (p * (H + r)),
где r — радиус вписанной окружности основания. Радиус вписанной окружности треугольника ABC (r) можно найти как:
r = S_основания / p = ((a²) / 2) / (a(1 + √2) / 2) = a / (1 + √2).
5. Теперь подставляем известные значения в формулу для R:
R = ((a² / 2) * a) / ((a(1 + √2) / 2) * (a + a / (1 + √2))).
6. Упрощаем:
R = (a³ / 2) / (a(1 + √2) / 2) * (a + a / (1 + √2)).
R = (a²) / (1 + √2) * (1 + 1 / (1 + √2)).
7. Упрощаем:
R = (a²) / (1 + √2) * ((1 + √2 + 1) / (1 + √2)) = (a²) * (2 + √2) / (1 + √2)².
8. Дальнейшее упрощение даст окончательный результат.
Ответ:
Радиус сферы, вписанной в данную пирамиду, равен (a² * (2 + √2)) / (3 + 2√2).