дано:
a = 4√3 см = 0.04√3 м α = 60° b = c = 5 см = 0.05 м
найти:
расстояние от центра описанного шара до плоскости основания пирамиды (h)
решение:
Найдем радиус R описанной окружности около основания треугольника:
площадь треугольника S = (1/2)ab sinα = (1/2)(4√3)(4√3)sin60° = (1/2)(48)(√3/2) = 12√3 см^2
R = abc / 4S = (4√3)(5)(5) / (4 * 12√3) = 5/12 м
Найдем высоту h основания:
по теореме косинусов: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosα (4√3)^2 = 5^2 + 5^2 - 2(5)(5)cos60° 48 = 50 - 50(1/2) = 25 48 = 25 - это ошибка в условии. Сторона 4√3 не может быть противолежащей стороне 60 градусов в треугольнике со сторонами 5 и 5.
Исправим условие, предположив, что сторона 4√3 см лежит против угла 60°. Тогда найдем другие стороны:
По теореме синусов: a/sinα = b/sinβ => 4√3/sin60° = 5/sinβ sinβ = 5sin60° / (4√3) = (5√3/2) / (4√3) = 5/8
β = arcsin(5/8) ≈ 38.68°
γ = 180° - α - β ≈ 180° - 60° - 38.68° ≈ 81.32°
По теореме синусов: a/sinα = c/sinγ => c = a sinγ / sinα = 4√3 * sin81.32° / sin60° ≈ 6.88 см
Теперь вычисляем площадь:
S = (1/2) * 5 * 6.88 * sin60° ≈ 14.94 см^2
R = abc / 4S = (4√3)(5)(6.88) / (4 * 14.94) ≈ 2.5 см ≈ 0.025 м
Найдем высоту пирамиды H:
Рассмотрим боковое ребро, высоту пирамиды и радиус описанной окружности основания. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см (боковое ребро), катетом R и катетом H.
H^2 + R^2 = 5^2 H^2 = 25 - R^2 = 25 - (2.5)^2 = 18.75 H = √18.75 ≈ 4.33 см ≈ 0.0433 м
Радиус описанной сферы Rсф:
Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и радиусом описанной сферы.
Rсф^2 = R^2 + (H/2)^2 Rсф = √(R^2 + (H/2)^2) ≈ √(2.5^2 + (4.33/2)^2) ≈ 3.21 см ≈ 0.0321 м
Расстояние от центра шара до плоскости основания:
h = Rсф - R = 0.0321 - 0.025 = 0.0071 м = 0.71 см
ответ:
0.71 см