Дано:
1. Высота равнобедренного треугольника (h) = 32 см.
2. Радиус вписанной окружности (r) = 12 см.
Найти:
Радиус окружности, описанной около треугольника (R).
Решение:
1. Связь между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей, а также высотой (h) и полупериметром (s) треугольника описывается формулой:
R = (abc) / (4 * S),
где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь треугольника.
2. Площадь S равнобедренного треугольника можно выразить через высоту и основание:
S = (1/2) * основание * высота.
3. Основание можно выразить через r и h. Из формулы для радиуса вписанной окружности:
r = S / s.
4. Полупериметр s равен:
s = (a + b + c) / 2.
Для равнобедренного треугольника a = b, и пусть c — основание.
5. Поскольку h = 32 см и r = 12 см, можно выразить основание через высоту:
S = r * s = r * (s) = 12 * s.
6. Теперь выразим s через h и r:
s = (основание + 2 * a) / 2.
7. Для нахождения R используем формулу:
R = (a * a * c) / (4 * S).
Поскольку основание c можно выразить через h и r, используем:
c = 2 * √(a² - (h²)).
8. Используя формулы взаимосвязи, мы можем найти R, но проще воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности через r и h:
R = (r * h) / (r + h).
9. Подставим значения:
R = (12 * 32) / (12 + 32) = 384 / 44 = 9,82 см.
Ответ:
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 9,82 см.