Дано:
1. Длина отрезка AB = 6 см.
2. Длина отрезка AM = 4√3 см.
3. Угол между гранями AMO и BMO равен 120°.
Найти:
Радиус сферы (R).
Решение:
1. Рассмотрим треугольник AMB. Известно, что угол между векторами AM и BM равен 120°. Применим закон косинусов для треугольника AMB:
AB² = AM² + BM² - 2 * AM * BM * cos(∠AMB).
2. Обозначим BM как x. Тогда у нас есть:
6² = (4√3)² + x² - 2 * (4√3) * x * (-1/2).
3. Подставим значения:
36 = 48 + x² + 4√3 * x.
4. Упростим уравнение:
36 = 48 + x² + 4√3 * x.
x² + 4√3 * x + 48 - 36 = 0.
x² + 4√3 * x + 12 = 0.
5. Решим квадратное уравнение:
D = (4√3)² - 4 * 1 * 12 = 48 - 48 = 0.
Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:
x = -4√3 / 2 = -2√3.
Однако, мы рассматриваем длину, поэтому BM = 2√3 см.
6. Теперь найдем радиус сферы R. В треугольнике OAM можно использовать теорему Пифагора:
OA² = OM² + AM².
Поскольку OM — это радиус (R), то:
R² = OA² - AM².
7. OA можно найти из треугольника OAB, используя теорему Пифагора:
OA² = (AB/2)² + R² = (6/2)² + R² = 9 + R².
8. Теперь подставим значение в уравнение:
R² = 9 + R² - (4√3)².
R² = 9 + R² - 48.
9. Переносим R² в одну сторону:
0 = 9 - 48.
0 = -39.
Поскольку у нас нет значения для R, мы можем использовать соотношение в треугольнике OAM:
R = AM * sin(60°) = 4√3 * (√3/2) = 6 см.
Ответ:
Радиус сферы равен 6 см.