Дано:
- Сфера с центром в точке О.
- А и В — произвольные точки на поверхности сферы.
Найти:
- Верность утверждения: «Через любые две точки сферы можно провести её большую окружность и притом только одну».
Решение:
1. Сферу можно представить как множество всех точек на плоскости, равных расстоянием от точки О (центра сферы) до каждой точки на поверхности сферы.
2. Рассмотрим плоскость, содержащую точки А, В и О. Поскольку точки А и В лежат на сфере, а точка О — её центр, то плоскость, проходящая через эти три точки, будет пересекать сферу по окружности.
3. Эта окружность будет являться кругом на сфере. Причем эта окружность будет большой окружностью сферы, так как она лежит на плоскости, проходящей через центр сферы и пересекает её по диаметру.
4. Большая окружность — это окружность, чей радиус равен радиусу сферы. Окружности, проходящие через центр сферы, называются большими.
5. Через любые две различные точки на сфере всегда можно провести плоскость, которая будет пересекать сферу по большой окружности. Это утверждение верно, так как плоскость, содержащая эти две точки, и центр сферы, всегда будет проходить через диаметр сферы, следовательно, эта окружность будет большой.
6. Большая окружность на сфере всегда одна, так как плоскость, проходящая через центр сферы и две произвольные точки на её поверхности, пересекает сферу по единственной окружности. Это следствие того, что через две разные точки на сфере всегда можно провести только одну плоскость, и эта плоскость определяет единственную большую окружность.
Ответ: Утверждение верно. Через любые две точки сферы действительно можно провести только одну большую окружность.