Дано:
- Сфера с центром в точке O и радиусом R.
- Плоскости, равноудаленные от центра сферы на расстоянии h.
Найти: доказать, что радиусы сечений этих плоскостей равны.
Решение:
1. Пусть плоскости пересекают сферу. Поскольку расстояние от центра сферы до этих плоскостей одинаково (h), то и сечения этих плоскостей будут окружностями. Нам нужно доказать, что радиусы этих окружностей одинаковы.
2. Рассмотрим сферу и плоскость, которая пересекает сферу на некотором расстоянии h от центра. Плоскость будет перпендикулярна радиусу, который соединяет центр сферы с точкой пересечения плоскости с поверхностью сферы. Радиус сечения (Rₛ) можно найти с помощью теоремы Пифагора, где гипотенуза — это радиус сферы (R), а одна из катетов — это расстояние от центра до плоскости (h).
3. Для того чтобы найти радиус окружности, образующейся в сечении, применим теорему Пифагора:
Rₛ = √(R² - h²).
4. Поскольку плоскости равноудалены от центра сферы, расстояние от центра сферы до каждой плоскости одинаково (h). Следовательно, радиус сечения для каждой из плоскостей будет одинаковым, так как в формуле для радиуса окружности сечения только переменная h остается постоянной для каждой из этих плоскостей.
5. Следовательно, радиусы всех сечений, сделанных равноудалёнными плоскостями, будут равны.
Ответ: Радиусы сечений, сделанных равноудалёнными от центра сферы плоскостями, одинаковы и равны √(R² - h²).