Дано:
Точка C (-3; 6; 8) и точка D (1; -4; -5) — концы диаметра сферы.
Найти: Уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD.
Решение:
1. Центр сферы находится в середине отрезка CD. Для нахождения центра, вычислим координаты его середины:
Координаты центра O (x₀; y₀; z₀) находятся по формуле середины отрезка:
x₀ = (xC + xD) / 2,
y₀ = (yC + yD) / 2,
z₀ = (zC + zD) / 2.
Подставляем значения координат точек C (-3; 6; 8) и D (1; -4; -5):
x₀ = (-3 + 1) / 2 = -2 / 2 = -1,
y₀ = (6 + (-4)) / 2 = 2 / 2 = 1,
z₀ = (8 + (-5)) / 2 = 3 / 2 = 1.5.
Итак, координаты центра сферы O(-1; 1; 1.5).
2. Радиус сферы равен половине длины отрезка CD. Для вычисления длины отрезка CD используем формулу для расстояния между двумя точками в пространстве:
R = √[(xD - xC)² + (yD - yC)² + (zD - zC)²].
Подставляем координаты точек C и D:
R = √[(1 - (-3))² + (-4 - 6)² + (-5 - 8)²],
R = √[(1 + 3)² + (-4 - 6)² + (-5 - 8)²],
R = √[(4)² + (-10)² + (-13)²],
R = √[16 + 100 + 169],
R = √285.
Радиус сферы равен половине длины отрезка, т.е. R/2 = √285 / 2.
3. Уравнение сферы с центром в точке O(x₀; y₀; z₀) и радиусом R имеет вид:
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R².
Подставляем координаты центра O(-1; 1; 1.5) и радиус R = √285 / 2:
(x + 1)² + (y - 1)² + (z - 1.5)² = (√285 / 2)².
Упростим правую часть:
(x + 1)² + (y - 1)² + (z - 1.5)² = 285 / 4.
Ответ: Уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, имеет вид:
(x + 1)² + (y - 1)² + (z - 1.5)² = 285 / 4.