Дано:
Отрезок AB — диаметр сферы, M — произвольная точка на сфере.
Найти:
Докажите, что угол ∠AMB = 90°.
Решение:
1. Пусть О — центр сферы. Тогда отрезки OA и OB — радиусы сферы, и их длина одинаковая, равна радиусу R.
2. Так как точка M лежит на поверхности сферы, то отрезок OM — это радиус сферы, то есть OM = R.
3. Рассмотрим треугольник OMA. Это прямоугольный треугольник, так как радиус сферы перпендикулярен диаметру в любой точке сферы.
4. Аналогично, треугольник OMB также прямоугольный по той же причине, что и треугольник OMA.
5. В треугольнике AMB, угол ∠AMB лежит напротив гипотенузы AB, которая является диаметром сферы. Поскольку треугольник OMA и треугольник OMB являются прямыми, то по теореме о прямом угле, угол ∠AMB между этими двумя отрезками будет равен 90°.
Ответ:
∠AMB = 90°.